3.57 \(\int \frac{(c+d x)^3}{(a+b \cot (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=839 \[ -\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 b \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^3}{(a-i b) (a+i b)^2 f}-\frac{2 i b^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b) (a+i b)^2 \left (i a-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}+b\right ) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b^2 d \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 b d \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}+\frac{3 b d^3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 (a+i b)^2 (i a+b) f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4} \]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 + b^2)^2*f) - (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a + I*b)^2*d) - (b*(c + d*x)^4)/((a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (b^2*
(c + d*x)^4)/((a^2 + b^2)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/
((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a +
I*b)^2*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f)
- ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (3
*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (3*b
^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (3*b^2*d^3*P
olyLog[3, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3
, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyL
og[3, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^(
(2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a + I*b)^2*(I*a + b)*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^((2*I)*e
+ (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.96869, antiderivative size = 839, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 21, number of rules used = 9, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.45, Rules used = {3734, 2185, 2184, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589, 2191} \[ -\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 b \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^3}{(a-i b) (a+i b)^2 f}-\frac{2 i b^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a-i b) (a+i b)^2 \left (i a-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}+b\right ) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{3 b^2 d \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 b d \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right ) (c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}+\frac{3 b d^3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 (a+i b)^2 (i a+b) f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3/(a + b*Cot[e + f*x])^2,x]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 + b^2)^2*f) - (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a + I*b)^2*d) - (b*(c + d*x)^4)/((a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (b^2*
(c + d*x)^4)/((a^2 + b^2)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/
((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a +
I*b)^2*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f)
- ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (3
*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (3*b
^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (3*b^2*d^3*P
olyLog[3, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3
, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyL
og[3, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^(
(2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a + I*b)^2*(I*a + b)*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^((2*I)*e
+ (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4)

Rule 3734

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
c + d*x)^m, (1/(a - I*b) - (2*I*b)/(a^2 + b^2 + (a - I*b)^2*E^(2*I*(e + f*x))))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2185

Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Dis
t[1/a, Int[(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1), x], x] - Dist[b/a, Int[(c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)
))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0
]

Rule 2184

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
+ d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Dist[b/a, Int[((c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 2191

Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1))/(b*f*g*n*(p +
1)*Log[F]), x] - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*(p + 1)*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1
), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d x)^3}{(a+b \cot (e+f x))^2} \, dx &=\int \left (\frac{(c+d x)^3}{(a+i b)^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{(i a-b)^2 \left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2}+\frac{4 b (c+d x)^3}{(a+i b)^2 \left (-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}+\frac{(4 b) \int \frac{(c+d x)^3}{-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^3}{\left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{(i a-b)^2}\\ &=\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^3}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b)}+\frac{(4 b) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{a^2+b^2}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{\left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^3}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2}+\frac{(6 b d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}+\frac{\left (6 b^2 d\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}+\frac{\left (6 b d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}+\frac{\left (6 b^2 d\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}+\frac{\left (6 i b^2 d\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}+\frac{\left (3 b d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{\left (6 b^2 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{\left (6 b^2 d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{\left (3 b d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) x}{a-i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 (a+i b)^2 (i a+b) f^4}+\frac{\left (3 i b^2 d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{\left (3 i b^2 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d^3 \text{Li}_4\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 (a+i b)^2 (i a+b) f^4}+\frac{\left (3 b^2 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) x}{a-i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}+\frac{\left (3 b^2 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) x}{a-i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^3}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^4}{4 (a+i b)^2 d}-\frac{b (c+d x)^4}{(a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{b^2 (c+d x)^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^3 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{3 b d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{3 b^2 d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}-\frac{3 b d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{3 i b^2 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{3 b d^3 \text{Li}_4\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 (a+i b)^2 (i a+b) f^4}+\frac{3 b^2 d^3 \text{Li}_4\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 f^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 10.1927, size = 1682, normalized size = 2. \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3/(a + b*Cot[e + f*x])^2,x]

[Out]

(b*((-4*b*(c + d*x)^3)/(a + I*b) + (2*a*f*(c + d*x)^4)/((a + I*b)*d) + (12*c*d*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1
+ E^((2*I)*e)))*(-(b*d) + a*c*f)*x*Log[1 + (-a + I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a - I*b)*((-I)*a + b
)*f) - (6*d^2*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d - 2*a*c*f)*x^2*Log[1 + (-a + I*b)/((a + I*b)
*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a - I*b)*((-I)*a + b)*f) + (4*a*d^3*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*x
^3*Log[1 + (-a + I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a - I*b)*((-I)*a + b)) + (2*c^2*(a*(-1 + E^((2*I)*e)
) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(-3*b*d + 2*a*c*f)*(2*f*x + I*Log[a - I*b - (a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x))]))/((a^2
+ b^2)*f) - (6*c*d*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(-(b*d) + a*c*f)*PolyLog[2, (a - I*b)/((a +
I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a^2 + b^2)*f^2) + (3*d^2*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d - 2
*a*c*f)*(2*f*x*PolyLog[2, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - I*PolyLog[3, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2
*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 + b^2)*f^3) - (3*a*d^3*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(2*f^2*x^2*Poly
Log[2, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - (2*I)*f*x*PolyLog[3, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*
x)))] - PolyLog[4, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 + b^2)*f^3)))/(2*(a - I*b)*(a + I*b)*((-
I)*a*(-1 + E^((2*I)*e)) + b*(1 + E^((2*I)*e)))*f) + (3*x^2*(-(a*c^2*d) - I*b*c^2*d + a*c^2*d*Cos[2*e] - I*b*c^
2*d*Cos[2*e] + I*a*c^2*d*Sin[2*e] + b*c^2*d*Sin[2*e]))/(2*(a - I*b)*(a + I*b)*(-a + I*b + a*Cos[2*e] + I*b*Cos
[2*e] + I*a*Sin[2*e] - b*Sin[2*e])) + (x^3*(-(a*c*d^2) - I*b*c*d^2 + a*c*d^2*Cos[2*e] - I*b*c*d^2*Cos[2*e] + I
*a*c*d^2*Sin[2*e] + b*c*d^2*Sin[2*e]))/((a - I*b)*(a + I*b)*(-a + I*b + a*Cos[2*e] + I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*
e] - b*Sin[2*e])) + (x^4*(-(a*d^3) - I*b*d^3 + a*d^3*Cos[2*e] - I*b*d^3*Cos[2*e] + I*a*d^3*Sin[2*e] + b*d^3*Si
n[2*e]))/(4*(a - I*b)*(a + I*b)*(-a + I*b + a*Cos[2*e] + I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] - b*Sin[2*e])) + x*(c^3/(
a^2 - (2*I)*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] + (2*I)*a*b*Cos[4*e] - b^2*Cos[4*e] + I*a^2*Sin[4*e] - 2*a*b*Sin[4*e] - I
*b^2*Sin[4*e]) + (((-I)*a - b - I*a*Cos[2*e] + b*Cos[2*e] + a*Sin[2*e] + I*b*Sin[2*e])*(4*a*b*c^3*Cos[2*e] + (
4*I)*a*b*c^3*Sin[2*e]))/((a - I*b)*(a + I*b)*(-a + I*b + a*Cos[2*e] + I*b*Cos[2*e] + I*a*Sin[2*e] - b*Sin[2*e]
)*(a^2 - (2*I)*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] + (2*I)*a*b*Cos[4*e] - b^2*Cos[4*e] + I*a^2*Sin[4*e] - 2*a*b*Sin[4*e]
- I*b^2*Sin[4*e])) + (c^3*Cos[4*e] + I*c^3*Sin[4*e])/(a^2 - (2*I)*a*b - b^2 + a^2*Cos[4*e] + (2*I)*a*b*Cos[4*e
] - b^2*Cos[4*e] + I*a^2*Sin[4*e] - 2*a*b*Sin[4*e] - I*b^2*Sin[4*e])) + (b^2*c^3*Sin[f*x] + 3*b^2*c^2*d*x*Sin[
f*x] + 3*b^2*c*d^2*x^2*Sin[f*x] + b^2*d^3*x^3*Sin[f*x])/((a - I*b)*(a + I*b)*f*(b*Cos[e] + a*Sin[e])*(b*Cos[e
+ f*x] + a*Sin[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.744, size = 3446, normalized size = 4.1 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3/(a+b*cot(f*x+e))^2,x)

[Out]

1/(2*I*a*b+a^2-b^2)*c^3*x-6*b^2/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*c*d^2/(a-I*b)*x^2-6*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c*d^2/(a-I*b
)*e^2-3/2*b/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*a*d^3/(a-I*b)*polylog(4,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))-3/2*I*b^2/(I*a+b)/
f^4/(b-I*a)^2*d^3/(a-I*b)*polylog(3,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))+12*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)
*e*x-2*b^2/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*a*d^3*e^3/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+6
*b^3/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c*d^2*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+6*b/(I*a+
b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d^2/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x-12*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*
d^2/(a-I*b)*e^2*x+3*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))-8*b/(I
*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*c*d^2/(a-I*b)*e^3+6*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*c*d^2*e^2/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(
f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)-6*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c^2*d*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e)
)+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+3*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^3/(a-I*b)*polylog(3,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-
I*b))*x+2*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*d^3/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x^3-6*I*b^2/(I*a+b)/f^2
/(b-I*a)^2*c*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x+4*b^2/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*d^3*e^3/(a-I*b)-
2*b^2/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*d^3/(a-I*b)*x^3+b/(I*a+b)/(b-I*a)^2*a*d^3/(a-I*b)*x^4+1/4/(2*I*a*b+a^2-b^2)*d^3*x^4-
3*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^3/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x+4*b/(I*a+b)/(b-I*a)^2*a*
c*d^2/(a-I*b)*x^3+6*b/(I*a+b)/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)*x^2-3*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c*d^2/(a-I*b)*polylog(
2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))+3*b/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*a*d^3*e^4/(a-I*b)+6*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^
3*e^2/(a-I*b)*x-6*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*c*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e^2-6*I*b^2
/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e+12*I*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c
*d^2*e/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))-2*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a^2*c^3/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*ex
p(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+3*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*c*d^2/(a-I*b)*polylog(3,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b)
)-4*I*b/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*a*d^3*e^3/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))+2*I*b/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*a^2*d^3*e^3/(I*
b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+12*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*c*d^2*e^2/(I*b-a
)*ln(exp(I*(f*x+e)))+3*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c^2*d/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+
e))*b-a+I*b)*a+6*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x+2*I*b/(I*a+b
)/f^4/(b-I*a)^2*a*d^3*e^3/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))+3*I*b^2/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*d^3*e^2
/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)*a-12*I*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c^2*d*e/(I
*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))+6*I*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e+
6*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x^2+4*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2
*a*c^3/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))-6*I*b^2/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*d^3*e^2/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))+3*I*b^2/(I*
a+b)/f^4/(b-I*a)^2*d^3*e^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))-6*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a^2*c*d^
2*e^2/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)-3*b^3/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c^2*d/(I*b
-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+2*b^2/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c^3/(I*b-a)/(a+I*b)*
ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)-3*b^3/(I*a+b)/f^4/(b-I*a)^2*d^3*e^2/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp
(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+6*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c^2*d/(a-I*b)*e^2-12*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-
I*a)^2*c*d^2/(a-I*b)*e*x+4*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^3*e^3/(a-I*b)*x+3*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*d^3/(a-I*b)
*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x^2-3*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*d^3/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*
I*(f*x+e))/(a-I*b))*x^2-6*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c^2*d/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))+2*I*b^2*(d^3*x^3+3*c*d^
2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2/(b*exp(2*I*(f*x+e))-I*exp(2*I*(f*x+e))*a+b+I*a)+1/(2*I*a*b+a^2-b^2)*c
*d^2*x^3+3/2/(2*I*a*b+a^2-b^2)*c^2*d*x^2+6*I*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a^2*c^2*d*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*
(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)-6*I*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*c*d^2*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e
))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 15.3636, size = 6325, normalized size = 7.54 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(3*(b^2/((a^4 + a^2*b^2)*f*tan(f*x + e) + (a^3*b + a*b^3)*f) + 2*a*b*log(a*tan(f*x + e) + b)/((a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*f) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*f) - (a^2 - b^2)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*f))*c^2*d*e - (2*a*b*log(a*tan(f*x + e) + b)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^
4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - (a^2 - b^2)*(f*x + e)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) + b^2/(a^3*b + a*b^3 + (a^4 + a^2*b^2)*ta
n(f*x + e)))*c^3 - ((3*a^3 + 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*I*b^3)*(f*x + e)^4*d^3 - (24*I*a*b^2 + 24*b^3)*d^3*e^3 -
(-72*I*a*b^2 - 72*b^3)*c*d^2*e^2*f - ((12*a^3 + 12*I*a^2*b + 12*a*b^2 + 12*I*b^3)*d^3*e - (12*a^3 + 12*I*a^2*b
+ 12*a*b^2 + 12*I*b^3)*c*d^2*f)*(f*x + e)^3 + ((18*a^3 + 18*I*a^2*b + 18*a*b^2 + 18*I*b^3)*d^3*e^2 - (36*a^3
+ 36*I*a^2*b + 36*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*d^2*e*f + (18*a^3 + 18*I*a^2*b + 18*a*b^2 + 18*I*b^3)*c^2*d*f^2)*(f*x +
e)^2 - ((12*a^3 + 12*I*a^2*b + 12*a*b^2 + 12*I*b^3)*d^3*e^3 - (36*a^3 + 36*I*a^2*b + 36*a*b^2 + 36*I*b^3)*c*d^
2*e^2*f)*(f*x + e) - ((-24*I*a^2*b - 24*a*b^2)*d^3*e^3 + (-36*I*a*b^2 - 36*b^3)*d^3*e^2 + (-36*I*a*b^2 - 36*b^
3)*c^2*d*f^2 + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*e^2 + (72*I*a*b^2 + 72*b^3)*c*d^2*e)*f + ((24*I*a^2*b - 24*a*b^2
)*d^3*e^3 + (36*I*a*b^2 - 36*b^3)*d^3*e^2 + (36*I*a*b^2 - 36*b^3)*c^2*d*f^2 + ((-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*
e^2 + (-72*I*a*b^2 + 72*b^3)*c*d^2*e)*f)*cos(2*f*x + 2*e) - 12*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^3 + 3*(a*b^2 + I*b^3
)*d^3*e^2 + 3*(a*b^2 + I*b^3)*c^2*d*f^2 - 6*((a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e^2 + (a*b^2 + I*b^3)*c*d^2*e)*f)*sin(2*f
*x + 2*e))*arctan2(b*cos(2*f*x + 2*e) + a*sin(2*f*x + 2*e) + b, a*cos(2*f*x + 2*e) - b*sin(2*f*x + 2*e) - a) -
((32*I*a^2*b + 32*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 + ((-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*d^3*e + (72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*f
+ (-36*I*a*b^2 - 36*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e^2 + (72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c^2*d*f
^2 + (72*I*a*b^2 + 72*b^3)*d^3*e + ((-144*I*a^2*b - 144*a*b^2)*c*d^2*e + (-72*I*a*b^2 - 72*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x
+ e) + ((-32*I*a^2*b + 32*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 + ((72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*d^3*e + (-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*
c*d^2*f + (36*I*a*b^2 - 36*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + ((-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e^2 + (-72*I*a^2*b + 72*a*b^2
)*c^2*d*f^2 + (-72*I*a*b^2 + 72*b^3)*d^3*e + ((144*I*a^2*b - 144*a*b^2)*c*d^2*e + (72*I*a*b^2 - 72*b^3)*c*d^2)
*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + 4*(8*(a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 - 9*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e - 2*(a
^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f + (a*b^2 + I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + 18*((a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^2 + (a^2*b + I*a*b^2)
*c^2*d*f^2 + (a*b^2 + I*b^3)*d^3*e - (2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e + (a*b^2 + I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*sin(2
*f*x + 2*e))*arctan2(-(2*a*b*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2 - b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2), (2*a*b*sin(2*f*x +
2*e) + a^2 + b^2 - (a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - ((3*a^3 + 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 - 3*I*b^3)*(f*x
+ e)^4*d^3 - ((12*a^3 + 36*I*a^2*b - 36*a*b^2 - 12*I*b^3)*d^3*e - (12*a^3 + 36*I*a^2*b - 36*a*b^2 - 12*I*b^3)*
c*d^2*f - (-24*I*a*b^2 + 24*b^3)*d^3)*(f*x + e)^3 + ((18*a^3 + 54*I*a^2*b - 54*a*b^2 - 18*I*b^3)*d^3*e^2 + (18
*a^3 + 54*I*a^2*b - 54*a*b^2 - 18*I*b^3)*c^2*d*f^2 + (72*I*a*b^2 - 72*b^3)*d^3*e - ((36*a^3 + 108*I*a^2*b - 10
8*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2*e - (-72*I*a*b^2 + 72*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e)^2 - ((12*a^3 + 36*I*a^2*b - 36*a*b^2
- 12*I*b^3)*d^3*e^3 - (-72*I*a*b^2 + 72*b^3)*d^3*e^2 - (-72*I*a*b^2 + 72*b^3)*c^2*d*f^2 - ((36*a^3 + 108*I*a^2
*b - 108*a*b^2 - 36*I*b^3)*c*d^2*e^2 + (144*I*a*b^2 - 144*b^3)*c*d^2*e)*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) - ((-48
*I*a^2*b - 48*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3 + (-36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d^3*e^2 + (-36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 +
(-36*I*a*b^2 - 36*b^3)*d^3*e + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e + (-72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*f + (36*I*a*b^
2 + 36*b^3)*d^3)*(f*x + e) + ((72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*e + (36*I*a*b^2 + 36*b^3)*c*d^2)*f + ((48*I*a^2*b
- 48*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3 + (36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d^3*e^2 + (36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 + (36*I*a*b^
2 - 36*b^3)*d^3*e + ((-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*d^3*e + (72*I*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*f + (-36*I*a*b^2 + 36*b^3)
*d^3)*(f*x + e) + ((-72*I*a^2*b + 72*a*b^2)*c*d^2*e + (-36*I*a*b^2 + 36*b^3)*c*d^2)*f)*cos(2*f*x + 2*e) - 12*(
4*(a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^3 + 3*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^2 + 3*(a^2*b + I*a*b^2)*c^2*d*f^2 + 3*(a*b^2 +
I*b^3)*d^3*e - 3*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e - 2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f + (a*b^2 + I*b^3)*d^3)*(f*x + e) -
3*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e + (a*b^2 + I*b^3)*c*d^2)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog((I*a - b)*e^(2*I*f*x + 2*I*
e)/(I*a + b)) + (12*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^3 + 18*(a*b^2 - I*b^3)*d^3*e^2 + 18*(a*b^2 - I*b^3)*c^2*d*f^2 - 36
*((a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e^2 + (a*b^2 - I*b^3)*c*d^2*e)*f - 6*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^3 + 3*(a*b^2 + I*b^3
)*d^3*e^2 + 3*(a*b^2 + I*b^3)*c^2*d*f^2 - 6*((a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*e^2 + (a*b^2 + I*b^3)*c*d^2*e)*f)*cos(2*f
*x + 2*e) - ((12*I*a^2*b - 12*a*b^2)*d^3*e^3 + (18*I*a*b^2 - 18*b^3)*d^3*e^2 + (18*I*a*b^2 - 18*b^3)*c^2*d*f^2
+ ((-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c*d^2*e^2 + (-36*I*a*b^2 + 36*b^3)*c*d^2*e)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2)*
cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 - 2*(a^2 - b^2)*cos(2
*f*x + 2*e)) - (16*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 - 18*(2*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e - 2*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d
^2*f + (a*b^2 - I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 + 36*((a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e^2 + (a^2*b - I*a*b^2)*c^2*d*f^2 + (a*b^2
- I*b^3)*d^3*e - (2*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*e + (a*b^2 - I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e) - 2*(8*(a^2*b + I*a*b^2)*
(f*x + e)^3*d^3 - 9*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e - 2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f + (a*b^2 + I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^
2 + 18*((a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e^2 + (a^2*b + I*a*b^2)*c^2*d*f^2 + (a*b^2 + I*b^3)*d^3*e - (2*(a^2*b + I*a*b^2)
*c*d^2*e + (a*b^2 + I*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + ((-16*I*a^2*b + 16*a*b^2)*(f*x + e)^3*d^3 +
((36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d^3*e + (-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c*d^2*f + (18*I*a*b^2 - 18*b^3)*d^3)*(f*x + e)^2 +
((-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*d^3*e^2 + (-36*I*a^2*b + 36*a*b^2)*c^2*d*f^2 + (-36*I*a*b^2 + 36*b^3)*d^3*e + ((72*I
*a^2*b - 72*a*b^2)*c*d^2*e + (36*I*a*b^2 - 36*b^3)*c*d^2)*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))*log(((a^2 + b^2)*cos
(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 - 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*
x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - ((-24*I*a^2*b + 24*a*b^2)*d^3*cos(2*f*x + 2*e) + 24*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*sin(2*f*x +
2*e) + (24*I*a^2*b + 24*a*b^2)*d^3)*polylog(4, (I*a - b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(I*a + b)) - (48*(a^2*b - I*a*b^
2)*(f*x + e)*d^3 - 36*(a^2*b - I*a*b^2)*d^3*e + 36*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d^2*f - 18*(a*b^2 - I*b^3)*d^3 - 6*(8*(
a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)*d^3 - 6*(a^2*b + I*a*b^2)*d^3*e + 6*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d^2*f - 3*(a*b^2 + I*b^3)*d
^3)*cos(2*f*x + 2*e) + ((-48*I*a^2*b + 48*a*b^2)*(f*x + e)*d^3 + (36*I*a^2*b - 36*a*b^2)*d^3*e + (-36*I*a^2*b
+ 36*a*b^2)*c*d^2*f + (18*I*a*b^2 - 18*b^3)*d^3)*sin(2*f*x + 2*e))*polylog(3, (I*a - b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(I
*a + b)) - ((3*I*a^3 - 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 + 3*b^3)*(f*x + e)^4*d^3 + ((-12*I*a^3 + 36*a^2*b + 36*I*a*b^2 - 12
*b^3)*d^3*e + (12*I*a^3 - 36*a^2*b - 36*I*a*b^2 + 12*b^3)*c*d^2*f + 24*(a*b^2 + I*b^3)*d^3)*(f*x + e)^3 + ((18
*I*a^3 - 54*a^2*b - 54*I*a*b^2 + 18*b^3)*d^3*e^2 + (18*I*a^3 - 54*a^2*b - 54*I*a*b^2 + 18*b^3)*c^2*d*f^2 - 72*
(a*b^2 + I*b^3)*d^3*e + ((-36*I*a^3 + 108*a^2*b + 108*I*a*b^2 - 36*b^3)*c*d^2*e + 72*(a*b^2 + I*b^3)*c*d^2)*f)
*(f*x + e)^2 + ((-12*I*a^3 + 36*a^2*b + 36*I*a*b^2 - 12*b^3)*d^3*e^3 + 72*(a*b^2 + I*b^3)*d^3*e^2 + 72*(a*b^2
+ I*b^3)*c^2*d*f^2 + ((36*I*a^3 - 108*a^2*b - 108*I*a*b^2 + 36*b^3)*c*d^2*e^2 - 144*(a*b^2 + I*b^3)*c*d^2*e)*f
)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))/((12*a^5 + 12*I*a^4*b + 24*a^3*b^2 + 24*I*a^2*b^3 + 12*a*b^4 + 12*I*b^5)*f^3*co
s(2*f*x + 2*e) - (-12*I*a^5 + 12*a^4*b - 24*I*a^3*b^2 + 24*a^2*b^3 - 12*I*a*b^4 + 12*b^5)*f^3*sin(2*f*x + 2*e)
- (12*a^5 - 12*I*a^4*b + 24*a^3*b^2 - 24*I*a^2*b^3 + 12*a*b^4 - 12*I*b^5)*f^3))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.92443, size = 7125, normalized size = 8.49 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*((a^2*b - b^3)*d^3*f^4*x^4 - 4*a*b^2*c^3*f^3 - 4*(a*b^2*d^3*f^3 - (a^2*b - b^3)*c*d^2*f^4)*x^3 - 6*(2*a*b^
2*c*d^2*f^3 - (a^2*b - b^3)*c^2*d*f^4)*x^2 - 4*(3*a*b^2*c^2*d*f^3 - (a^2*b - b^3)*c^3*f^4)*x + ((a^2*b - b^3)*
d^3*f^4*x^4 - 4*a*b^2*c^3*f^3 - 4*(a*b^2*d^3*f^3 - (a^2*b - b^3)*c*d^2*f^4)*x^3 - 6*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 - (a^2*
b - b^3)*c^2*d*f^4)*x^2 - 4*(3*a*b^2*c^2*d*f^3 - (a^2*b - b^3)*c^3*f^4)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (6*I*a*b^2*d^3*f
^2*x^2 + 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 - 6*I*b^3*c*d^2*f + 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*f^2 - b^3*d^3*f)*x + (6*I*a*b^2*d^3*f^2*x^
2 + 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 - 6*I*b^3*c*d^2*f + 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*f^2 - b^3*d^3*f)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (6*I*a^2
*b*d^3*f^2*x^2 + 6*I*a^2*b*c^2*d*f^2 - 6*I*a*b^2*c*d^2*f + 6*I*(2*a^2*b*c*d^2*f^2 - a*b^2*d^3*f)*x)*sin(2*f*x
+ 2*e))*dilog(-(a^2 + b^2 - (a^2 + 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (-I*a^2 + 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e)
)/(a^2 + b^2) + 1) + (-6*I*a*b^2*d^3*f^2*x^2 - 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 + 6*I*b^3*c*d^2*f - 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*f^2
- b^3*d^3*f)*x + (-6*I*a*b^2*d^3*f^2*x^2 - 6*I*a*b^2*c^2*d*f^2 + 6*I*b^3*c*d^2*f - 6*I*(2*a*b^2*c*d^2*f^2 - b^
3*d^3*f)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (-6*I*a^2*b*d^3*f^2*x^2 - 6*I*a^2*b*c^2*d*f^2 + 6*I*a*b^2*c*d^2*f - 6*I*(2*a^2*
b*c*d^2*f^2 - a*b^2*d^3*f)*x)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog(-(a^2 + b^2 - (a^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (
I*a^2 + 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2) + 1) + 2*(2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^3*f^3 + 3*b^3*d^3*e
^2 + 3*(2*a*b^2*c^2*d*e + b^3*c^2*d)*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + (2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^
3*f^3 + 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c^2*d*e + b^3*c^2*d)*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f)*cos(2*f*x +
2*e) + (2*a^2*b*d^3*e^3 - 2*a^2*b*c^3*f^3 + 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c^2*d*e + a*b^2*c^2*d)*f^2 - 6*(a^2*
b*c*d^2*e^2 + a*b^2*c*d^2*e)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log(1/2*a^2 + I*a*b - 1/2*b^2 - 1/2*(a^2 + b^2)*cos(2*f*x +
2*e) + 1/2*(I*a^2 + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e)) + 2*(2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^3*f^3 + 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b
^2*c^2*d*e + b^3*c^2*d)*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + (2*a*b^2*d^3*e^3 - 2*a*b^2*c^3*f^3 + 3*b^3
*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c^2*d*e + b^3*c^2*d)*f^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f)*cos(2*f*x + 2*e) + (2*a^
2*b*d^3*e^3 - 2*a^2*b*c^3*f^3 + 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c^2*d*e + a*b^2*c^2*d)*f^2 - 6*(a^2*b*c*d^2*e^2 +
a*b^2*c*d^2*e)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log(-1/2*a^2 + I*a*b + 1/2*b^2 + 1/2*(a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + 1/2*(
I*a^2 + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e)) - 2*(2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^2*d^3*e^3 + 6*a*b^2*c^2*d*e*f^2 + 3*b^3*d^3*
e^2 + 3*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 - b^3*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 - b^3
*c*d^2*f^2)*x + (2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^2*d^3*e^3 + 6*a*b^2*c^2*d*e*f^2 + 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c*d^
2*f^3 - b^3*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 - b^3*c*d^2*f^2)*x)*cos(2*
f*x + 2*e) + (2*a^2*b*d^3*f^3*x^3 + 2*a^2*b*d^3*e^3 + 6*a^2*b*c^2*d*e*f^2 + 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c*d^2
*f^3 - a*b^2*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a^2*b*c*d^2*e^2 + a*b^2*c*d^2*e)*f + 6*(a^2*b*c^2*d*f^3 - a*b^2*c*d^2*f^2)*x)*s
in(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2 - (a^2 + 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (-I*a^2 + 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x
+ 2*e))/(a^2 + b^2)) - 2*(2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^2*d^3*e^3 + 6*a*b^2*c^2*d*e*f^2 + 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a
*b^2*c*d^2*f^3 - b^3*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 - b^3*c*d^2*f^2)*
x + (2*a*b^2*d^3*f^3*x^3 + 2*a*b^2*d^3*e^3 + 6*a*b^2*c^2*d*e*f^2 + 3*b^3*d^3*e^2 + 3*(2*a*b^2*c*d^2*f^3 - b^3*
d^3*f^2)*x^2 - 6*(a*b^2*c*d^2*e^2 + b^3*c*d^2*e)*f + 6*(a*b^2*c^2*d*f^3 - b^3*c*d^2*f^2)*x)*cos(2*f*x + 2*e) +
(2*a^2*b*d^3*f^3*x^3 + 2*a^2*b*d^3*e^3 + 6*a^2*b*c^2*d*e*f^2 + 3*a*b^2*d^3*e^2 + 3*(2*a^2*b*c*d^2*f^3 - a*b^2
*d^3*f^2)*x^2 - 6*(a^2*b*c*d^2*e^2 + a*b^2*c*d^2*e)*f + 6*(a^2*b*c^2*d*f^3 - a*b^2*c*d^2*f^2)*x)*sin(2*f*x + 2
*e))*log((a^2 + b^2 - (a^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (I*a^2 + 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2
+ b^2)) + (-3*I*a*b^2*d^3*cos(2*f*x + 2*e) - 3*I*a^2*b*d^3*sin(2*f*x + 2*e) - 3*I*a*b^2*d^3)*polylog(4, ((a^2
+ 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (I*a^2 - 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + (3*I*a*b^2*d^3*co
s(2*f*x + 2*e) + 3*I*a^2*b*d^3*sin(2*f*x + 2*e) + 3*I*a*b^2*d^3)*polylog(4, ((a^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x +
2*e) + (-I*a^2 - 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - 3*(2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f - b^3*d
^3 + (2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f - b^3*d^3)*cos(2*f*x + 2*e) + (2*a^2*b*d^3*f*x + 2*a^2*b*c*d^2*f - a*b
^2*d^3)*sin(2*f*x + 2*e))*polylog(3, ((a^2 + 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (I*a^2 - 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f
*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - 3*(2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f - b^3*d^3 + (2*a*b^2*d^3*f*x + 2*a*b^2*c*d^2*f
- b^3*d^3)*cos(2*f*x + 2*e) + (2*a^2*b*d^3*f*x + 2*a^2*b*c*d^2*f - a*b^2*d^3)*sin(2*f*x + 2*e))*polylog(3, ((a
^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (-I*a^2 - 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + ((a^3 - a*b^2
)*d^3*f^4*x^4 + 4*b^3*c^3*f^3 + 4*(b^3*d^3*f^3 + (a^3 - a*b^2)*c*d^2*f^4)*x^3 + 6*(2*b^3*c*d^2*f^3 + (a^3 - a*
b^2)*c^2*d*f^4)*x^2 + 4*(3*b^3*c^2*d*f^3 + (a^3 - a*b^2)*c^3*f^4)*x)*sin(2*f*x + 2*e))/((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b
^5)*f^4*cos(2*f*x + 2*e) + (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*f^4*sin(2*f*x + 2*e) + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*f^4)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3/(a+b*cot(f*x+e))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{3}}{{\left (b \cot \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3/(b*cot(f*x + e) + a)^2, x)